home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Internet Surfer 2.0 / Internet Surfer 2.0 (Wayzata Technology) (1996).iso / pc / text / mac / faqs.452 < prev    next >
Text File  |  1996-02-12  |  28KB  |  737 lines
  1. Frequently Asked Questions (FAQS);faqs.452
  2.  
  3.  
  4.  
  5. ==> probability/roulette.p <==
  6. You are in a game of Russian roulette, but this time the gun (a 6
  7. shooter revolver) has three bullets _in_a_row_ in three of the
  8. chambers.  The barrel is spun only once.  Each player then points the
  9. gun at his (her) head and pulls the trigger.  If he (she) is still
  10.  
  11. ==> probability/unfair.p <==
  12. Generate even odds from an unfair coin.  For example, if you
  13. thought a coin was biased toward heads, how could you get the
  14. equivalent of a fair coin with several tosses of the unfair coin?
  15.  
  16. ==> series/series.01.p <==
  17. M, N, B, D, P ?
  18.  
  19. ==> series/series.02.p <==
  20. H, H, L, B, B, C, N, O, F ?
  21.  
  22. ==> series/series.03.p <==
  23. W, A, J, M, M, A, J?
  24.  
  25. ==> series/series.03a.p <==
  26. G, J, T, J, J, J, A, M, W, J, J, Z, M, F, J, ?
  27.  
  28.  
  29. ==> series/series.03b.p <==
  30. A, J, B, C, G, T, C, V, J, T, D, F, K, B, H, ?
  31.  
  32.  
  33. ==> series/series.03c.p <==
  34. M, A, M, D, E, L, R, H, ?
  35.  
  36.  
  37. ==> series/series.04.p <==
  38. A, E, H, I, K, L, ?
  39.  
  40. ==> series/series.05.p <==
  41. A B C D E F G H?
  42.  
  43. ==> series/series.06.p <==
  44. Z, O, T, T, F, F, S, S, E, N?
  45.  
  46. ==> series/series.06a.p <==
  47. F, S, T, F, F, S, ?
  48.  
  49. ==> series/series.07.p <==
  50. 1, 1 1, 2 1, 1 2 1 1, ...
  51.  
  52. What is the pattern and asymptotics of this series?
  53.  
  54. ==> series/series.08a.p <==
  55. G, L, M, B, C, L, M, C, F, S, ?
  56.  
  57. ==> series/series.08b.p <==
  58. A, V, R, R, C, C, L, L, L, E, ?
  59.  
  60. ==> series/series.09a.p <==
  61. S, M, S, S, S, C, P, P, P, ?
  62.  
  63. ==> series/series.09b.p <==
  64. M, S, C, P, P, P, S, S, S, ?
  65.  
  66. ==> series/series.10.p <==
  67. D, P, N, G, C, M, M, S, ?
  68.  
  69. ==> series/series.11.p <==
  70. R O Y G B ?
  71.  
  72. ==> series/series.12.p <==
  73. A, T, G, C, L, ?
  74.  
  75. ==> series/series.13.p <==
  76. M, V, E, M, J, S, ?
  77.  
  78. ==> series/series.14.p <==
  79. A, B, D, O, P, ?
  80.  
  81. ==> series/series.14a.p <==
  82. A, B, D, E, G, O, P, ?
  83.  
  84. ==> series/series.15.p <==
  85. A, E, F, H, I, ?
  86.  
  87. ==> series/series.16.p <==
  88. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y?
  89.  
  90. ==> series/series.17.p <==
  91. T, P, O, F, O, F, N, T, S, F, T, F, E, N, S, N?
  92.  
  93. ==> series/series.18.p <==
  94. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, ___ , 100, 121, 10000
  95.  
  96. ==> series/series.19.p <==
  97. 1 01 01011 0101101011011 0101101011011010110101101101011011 etc.
  98.  
  99. Each string is formed from the previous string by substituting '01' for '1'
  100. and '011' for '0' simultaneously at each occurance.
  101.  
  102. ==> series/series.20.p <==
  103. 1 2 5 16 64 312 1812 12288
  104.  
  105. ==> series/series.21.p <==
  106. 5, 6, 5, 6, 5, 5, 7, 5, ?
  107.  
  108. ==> series/series.22.p <==
  109. 3 1 1 0 3 7 5 5 2 ?
  110.  
  111. ==> series/series.23.p <==
  112. 22 22 30 13 13 16 16 28 28 11 ?
  113.  
  114. ==> series/series.24.p <==
  115. What is the next letter in the sequence: W, I, T, N, L, I, T?
  116.  
  117. ==> series/series.25.p <==
  118. 1 3 4 9 10 12 13 27 28 30 31 36 37 39 40 ?
  119.  
  120. ==> series/series.26.p <==
  121. 1 3 2 6 7 5 4 12 13 15 14 10 11 9 8 24 25 27 26 ?
  122.  
  123. ==> series/series.27.p <==
  124. 0 1 1 2 1 2 1 3 2 2 1 3 1 2 2 4 1 3 1 3 2 2 1 4 2 ?
  125.  
  126. ==> series/series.28.p <==
  127. 0 2 3 4 5 5 7 6 6 7 11 7 13 9 8 8 17 8 19 9 10 13 23 9 10 ?
  128.  
  129. ==> series/series.29.p <==
  130. 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3 4 1 2 2 3 2 3 3 4 2 3 3 4 3 4 ?
  131.  
  132. ==> series/series.30.p <==
  133. I I T Y W I M W Y B M A D
  134.  
  135. ==> series/series.31.p <==
  136. 6 2 5 5 4 5 6 3 7
  137.  
  138. ==> series/series.32.p <==
  139. 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1
  140.  
  141. ==> series/series.33.p <==
  142. 2 12 360 75600
  143.  
  144. ==> series/series.34.p <==
  145. 3 5 4 4 3 5 5 4 3
  146.  
  147. ==> series/series.35.p <==
  148. 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 2 2 3
  149.  
  150. ==> trivia/area.codes.p <==
  151. When looking at a map of the distribution of telephone area codes
  152. for North America, it appears that they are randomly distributed.
  153. I am doubtful that this is the case, however.  Does anyone know
  154. how the area codes were/are chosen?
  155.  
  156. ==> trivia/eskimo.snow.p <==
  157. How many words do the Eskimo have for snow?
  158.  
  159. ==> trivia/federal.reserve.p <==
  160. What is the pattern to this list:
  161. Boston, MA
  162. New York, NY
  163. Philadelphia, PA
  164.  
  165. ==> trivia/jokes.self-referential.p <==
  166. What are some self-referential jokes?
  167. Xref: bloom-picayune.mit.edu rec.puzzles:18137 news.answers:3069
  168. Newsgroups: rec.puzzles,news.answers
  169. Path: bloom-picayune.mit.edu!enterpoop.mit.edu!snorkelwacker.mit.edu!usc!wupost!uunet!questrel!chris
  170. From: uunet!questrel!chris (Chris Cole)
  171. Subject: rec.puzzles FAQ, part 2 of 15
  172. Message-ID: <puzzles-faq-2_717034101@questrel.com>
  173. Followup-To: rec.puzzles
  174. Summary: This posting contains a list of
  175.      Frequently Asked Questions (and their answers).
  176.      It should be read by anyone who wishes to
  177.      post to the rec.puzzles newsgroup.
  178. Sender: chris@questrel.com (Chris Cole)
  179. Reply-To: uunet!questrel!faql-comment
  180. Organization: Questrel, Inc.
  181. References: <puzzles-faq-1_717034101@questrel.com>
  182. Date: Mon, 21 Sep 1992 00:08:31 GMT
  183. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  184. Expires: Sat, 3 Apr 1993 00:08:21 GMT
  185. Lines: 1579
  186.  
  187. Archive-name: puzzles-faq/part02
  188. Last-modified: 1992/09/20
  189. Version: 3
  190.  
  191. ==> analysis/bugs.p <==
  192. Four bugs are placed at the corners of a square. Each bug walks directly
  193. toward the next bug in the clockwise direction. The bugs walk with
  194. constant speed always directly toward their clockwise neighbor. Assuming
  195. the bugs make at least one full circuit around the center of the square
  196. before meeting, how much closer to the center will a bug be at the end
  197. of its first full circuit?
  198.  
  199. ==> analysis/bugs.s <==
  200. Amorous Bugs
  201.  
  202. ANSWER: 1 - e^(-2*pi)
  203.  
  204.     Let O(t) be the angle at time t of bug 1 relative to its starting
  205.     point and r(O(t)) be its distance from the center of the square.
  206.     Bug 1's vector trajectory is (using a Cartesian coordinate system with
  207.     the origin at the center of the square):
  208.         (1) X1 = [r(O) * cos(O), r(O) * sin(O)]
  209.     By symmetry, bug 2's trajectory is the same only rotated by pi/2, viz.:
  210.         (2) X2 = [-r(O) * sin(O), r(O) * cos(O)]
  211.     Since bug 1 walks directly toward bug 2, the velocity of bug 1 must be
  212.     proportional to the vector from bug 1 to bug 2:
  213.         (3) d(X1)/d(t) = k * (X2 - X1)
  214.     Equating each component of the vector equation (3) yields:
  215.         (4) (d(r)/d(O) * cos(O) - r * sin(O)) * d(O)/d(t) =
  216.             k * (-r * cos(O) - r * sin(O))
  217.         (5) (d(r)/d(O) * sin(O) + r * cos(O)) * d(O)/d(t) =
  218.             k * (-r * sin(O) + r * cos(O))
  219.     These equations are solved by:
  220.         (6) k = d(O)/d(t)
  221.     and:
  222.         (7) d(r)/d(O) = -r(O)
  223.     (7) is solved by:
  224.         (8) r(O) = e^-O
  225.     Constant speed gives:
  226.         (9) v^2 = constant = ((d(r)/d(O))^2+r^2)*(d(O)/d(t))^2
  227.     Substituting (8) into (9) yields (let V = v/sqrt(2)):
  228.         (10) d(O)/d(t) = V * e^O
  229.     Which is solved (using the boundary condition O(0) = 0) by:
  230.         (11) O(t) = -ln(1 - V * t)
  231.     Substituting (11) into (8) yields:
  232.         (12) r(t) = r(0) - V * t
  233.     The bug has made a full circle when O(T) = 2*pi; using (11):
  234.         (13) T = 1/V * (1 - e^(-2*pi))
  235.     Substituting T into (12) yields the answer:
  236.         (14) r(T) - r(0) = 1 - e^(-2*pi)
  237.  
  238. ==> analysis/c.infinity.p <==
  239. What function is zero at zero, strictly positive elsewhere, infinitely
  240. differentiable at zero and has all zero derivitives at zero?
  241.  
  242. ==> analysis/c.infinity.s <==
  243. exp(-1/x^2)
  244.  
  245. This tells us why Taylor Series are a more limited device than they might be.
  246. We form a Taylor series by looking at the derivatives of a function at a given
  247. point; but this example shows us that the derivatives at a point may tell us
  248. almost nothing about its behavior away from that point.
  249.  
  250. ==> analysis/cache.p <==
  251. Cache and Ferry (How far can a truck go in a desert?)
  252. A pick-up truck is in the desert beside N 50-gallon gas drums, all full.
  253. The truck's gas tank holds 10 gallons and is empty.  The truck can carry
  254. one drum, whether full or empty, in its bed.  It gets 10 miles to the gallon.
  255. How far away from the starting point can you drive the truck?
  256.  
  257. ==> analysis/cache.s <==
  258. If the truck can siphon gas out of its tank and leave it in the cache,
  259. the answer is:
  260.         { 1/1 + 1/3 + ... + 1/(2 * N - 1) } x 500 miles.
  261.  
  262. Otherwise, the "Cache and Ferry" problem is the same as the "Desert Fox"
  263. problem described, but not solved, by Dewdney, July '87 "Scientific American".
  264.  
  265. Dewdney's Oct. '87 Sci. Am. article gives for N=2, the optimal distance
  266. of 733.33 miles.
  267.  
  268. In the Nov. issue, Dewdney lists the optimal distance of 860 miles for
  269. N=3, and gives a better, but not optimal, general distance formula.
  270.  
  271. Westbrook, in Vol 74, #467, pp 49-50, March '90 "Mathematical Gazette",
  272. gives an even better formula, for which he incorrectly claims optimality:
  273.  
  274.   For N = 2,3,4,5,6:
  275.      Dist = (600/1 + 600/3 + ... + 600/(2N-3))  +  (600-100N)/(2N-1)
  276.   For N > 6:
  277.      Dist = (600/1 + 600/3 + ... + 600/9)  +  (500/11 + ... + 500/(2N-3))
  278.  
  279. The following shows that Westbrook's formula is not optimal for N=8:
  280.  
  281.    Ferry  7 drums forward   33.3333 miles   (356.6667 gallons remain)
  282.    Ferry  6 drums forward   51.5151 miles   (300.0000 gallons remain)
  283.    Ferry  5 drums forward   66.6667 miles   (240.0000 gallons remain)
  284.    Ferry  4 drums forward   85.7143 miles   (180.0000 gallons remain)
  285.    Ferry  3 drums forward  120.0000 miles   (120.0000 gallons remain)
  286.    Ferry  2 drums forward  200.0000 miles   ( 60.0000 gallons remain)
  287.    Ferry  1 drums forward  600.0000 miles
  288.                           ---------------
  289.          Total distance = 1157.2294 miles
  290.    (Westbrook's formula = 1156.2970 miles)
  291.  
  292.        ["Ferrying n drums forward x miles" involves (2*n-1) trips,
  293.          each of distance x.]
  294.  
  295. Other attainable values I've found:
  296.    N      Distance
  297.   ---    ---------  (Ferry distances for each N are omitted for brevity.)
  298.     5    1016.8254
  299.     7    1117.8355
  300.    11    1249.2749
  301.    13    1296.8939
  302.    17    1372.8577
  303.    19    1404.1136  (The N <= 19 distances could be optimal.)
  304.    31    1541.1550  (I doubt that this N = 31 distance is optimal.)
  305.   139    1955.5509  (I'm sure that this N = 139 distance is not optimal.)
  306.  
  307. So...where's MY formula?
  308. I haven't found one, and believe me, I've looked.
  309.  
  310. I would be most grateful if someone would end my misery by mailing me
  311. a formula, a literature reference, or even an efficient algorithm that
  312. computes the optimal distance.
  313.  
  314. If you do come up with the solution, you might want to first check it
  315. against the attainable distances listed above, before sending it out.
  316. (Not because you might be wrong, but just as a mere formality to check
  317.  your work.)
  318.  
  319. [Warning:  the Mathematician General has determined that
  320.            this problem is as addicting as Twinkies.]
  321.  
  322. Myron P. Souris      | "If you have anything to tell me of importance,
  323. McDonnell Douglas    |  for God's sake begin at the end."
  324. souris@mdcbbs.com    |                            Sara Jeanette Duncan
  325.  
  326.  
  327. @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
  328.  
  329. The following output comes from some hack programs that I've used to
  330. empirically verify some proofs I've been working on.
  331.  
  332. Initial barrels:   12 (600 gallons)
  333. Attainable distance= 1274.175211
  334.                   Barrels  Distance      Gas
  335.                    Moved    covered     left
  336. >From depot   1:      10     63.1579   480.0000
  337. >From depot   2:       8     50.0000   405.0000
  338. >From depot   3:       7     37.5000   356.2500
  339. >From depot   4:       6     51.1364   300.0000
  340. >From depot   5:       5     66.6667   240.0000
  341. >From depot   6:       4     85.7143   180.0000
  342. >From depot   7:       3    120.0000   120.0000
  343. >From depot   8:       2    200.0000    60.0000
  344. >From depot   9:       1    600.0000     0.0000
  345.  
  346.  
  347. Initial barrels:   40 (2000 gallons)
  348. Attainable distance= 1611.591484
  349.                   Barrels  Distance      Gas
  350.                    Moved    covered     left
  351. >From depot   1:      40      2.5316  1980.0000
  352. >From depot   2:      33     50.0000  1655.0000
  353. >From depot   3:      28     50.0000  1380.0000
  354. >From depot   4:      23     53.3333  1140.0000
  355. >From depot   5:      19     50.0000   955.0000
  356. >From depot   6:      16     56.4516   780.0000
  357. >From depot   7:      13     50.0000   655.0000
  358. >From depot   8:      11     54.7619   540.0000
  359. >From depot   9:       9     50.0000   455.0000
  360. >From depot  10:       8     32.1429   406.7857
  361. >From depot  11:       7     38.9881   356.1012
  362. >From depot  12:       6     51.0011   300.0000
  363. >From depot  13:       5     66.6667   240.0000
  364. >From depot  14:       4     85.7143   180.0000
  365. >From depot  15:       3    120.0000   120.0000
  366. >From depot  16:       2    200.0000    60.0000
  367. >From depot  17:       1    600.0000     0.0000
  368.  
  369. ==> analysis/cats.and.rats.p <==
  370. If 6 cats can kill 6 rats in 6 minutes, how many cats does it take to
  371. kill one rat in one minute?
  372.  
  373. ==> analysis/cats.and.rats.s <==
  374. The following piece by Lewis Carroll first appeared in ``The Monthly
  375. Packet'' of February 1880 and is reprinted in _The_Magic_of_Lewis_Carroll_,
  376. edited by John Fisher, Bramhall House, 1973.
  377.  
  378. /Larry Denenberg
  379. larry@bbn.com
  380. larry@harvard.edu
  381.  
  382.  
  383.  
  384.  
  385.  
  386.                                  Cats and Rats
  387.  
  388.    If 6 cats kill 6 rats in 6 minutes, how many will be needed to kill 100
  389.    rats in 50 minutes?
  390.  
  391.    This is a good example of a phenomenon that often occurs in working
  392.    problems in double proportion; the answer looks all right at first, but,
  393.    when we come to test it, we find that, owing to peculiar circumstances in
  394.    the case, the solution is either impossible or else indefinite, and needing
  395.    further data.  The 'peculiar circumstance' here is that fractional cats or
  396.    rats are excluded from consideration, and in consequence of this the
  397.    solution is, as we shall see, indefinite.
  398.  
  399.    The solution, by the ordinary rules of Double Proportion, is as follows:
  400.        6 rats   :  100 rats  \
  401.                   >   :: 6 cats : ans.
  402.       50 min.   :    6 min.  /
  403.          .
  404.     . .  ans. = (100)(6)(6)/(50)(6) = 12
  405.  
  406.    But when we come to trace the history of this sanguinary scene through all
  407.    its horrid details, we find that at the end of 48 minutes 96 rats are dead,
  408.    and that there remain 4 live rats and 2 minutes to kill them in: the
  409.    question is, can this be done?
  410.  
  411.    Now there are at least *four* different ways in which the original feat,
  412.    of 6 cats killing 6 rats in 6 minutes, may be achieved.  For the sake of
  413.    clearness let us tabulate them:
  414.       A.  All 6 cats are needed to kill a rat; and this they do in one minute,
  415.           the other rats standing meekly by, waiting for their turn.
  416.       B.  3 cats are needed to kill a rat, and they do it in 2 minutes.
  417.       C.  2 cats are needed, and do it in 3 minutes.
  418.       D.  Each cat kills a rat all by itself, and take 6 minutes to do it.
  419.  
  420.    In cases A and B it is clear that the 12 cats (who are assumed to come
  421.    quite fresh from their 48 minutes of slaughter) can finish the affair in
  422.    the required time; but, in case C, it can only be done by supposing that 2
  423.    cats could kill two-thirds of a rat in 2 minutes; and in case D, by
  424.    supposing that a cat could kill one-third of a rat in two minutes.  Neither
  425.    supposition is warranted by the data; nor could the fractional rats (even
  426.    if endowed with equal vitality) be fairly assigned to the different cats.
  427.    For my part, if I were a cat in case D, and did not find my claws in good
  428.    working order, I should certainly prefer to have my one-third-rat cut off
  429.    from the tail end.
  430.  
  431.    In cases C and D, then, it is clear that we must provide extra cat-power.
  432.    In case C *less* than 2 extra cats would be of no use.  If 2 were supplied,
  433.    and if they began killing their 4 rats at the beginning of the time, they
  434.    would finish them in 12 minutes, and have 36 minutes to spare, during which
  435.    they might weep, like Alexander, because there were not 12 more rats to
  436.    kill.  In case D, one extra cat would suffice; it would kill its 4 rats in
  437.    24 minutes, and have 24 minutes to spare, during which it could have killed
  438.    another 4.  But in neither case could any use be made of the last 2
  439.    minutes, except to half-kill rats---a barbarity we need not take into
  440.    consideration.
  441.  
  442.    To sum up our results.  If the 6 cats kill the 6 rats by method A or B,
  443.    the answer is 12; if by method C, 14; if by method D, 13.
  444.  
  445.    This, then, is an instance of a solution made `indefinite' by the
  446.    circumstances of the case.  If an instance of the `impossible' be desired,
  447.    take the following: `If a cat can kill a rat in a minute, how many would be
  448.    needed to kill it in the thousandth part of a second?'  The *mathematical*
  449.    answer, of course, is `60,000,' and no doubt less than this would *not*
  450.    suffice; but would 60,000 suffice?  I doubt it very much.  I fancy that at
  451.    least 50,000 of the cats would never even see the rat, or have any idea of
  452.    what was going on.
  453.  
  454.    Or take this: `If a cat can kill a rat in a minute, how long would it be
  455.    killing 60,000 rats?'  Ah, how long, indeed!  My private opinion is that
  456.    the rats would kill the cat.
  457.  
  458.  
  459.  
  460. ==> analysis/e.and.pi.p <==
  461. Which is greater, e^(pi) or (pi)^e ?
  462.  
  463. ==> analysis/e.and.pi.s <==
  464. Put x = pi/e - 1 in the inequality e^x > 1+x  (x>0).
  465.  
  466. ==> analysis/functional/distributed.p <==
  467.      Find all f: R -> R, f not identically zero, such that
  468. (*)     f( (x+y)/(x-y) ) = ( f(x)+f(y) )/( f(x)-f(y) ).
  469.  
  470. ==> analysis/functional/distributed.s <==
  471. 1)  Assuming f finite everywhere, (*) ==> x<>y ==> f(x)<>f(y)
  472.  
  473. 2)  Exchanging x and y in (*) we see that f(-x) = -f(x).
  474.  
  475. 3)  a <> 0 ==> f((a-a)/(a+a)) = (f(a)-f(a))/(f(a)+f(a)) ==> f(0) = 0.
  476.  
  477. 4)  a <> 0 ==> f((a+0)/(a-0)) = f(a)/f(a) ==> f(1) = 1.
  478.  
  479. 5)  x<>y, y<>0 ==> f(x/y) =
  480. f( ((x+y)/(x-y) + (x-y)/(x-y)) / ((x+y)/(x-y) - (x-y)/(x-y)) = f(x)/f(y)
  481. ==> f(xy) = f(x)f(y) by replacing x with xy and by noting that
  482. f(x*1) = f(x)*1 and f(x*0) = f(x)*f(0).
  483.  
  484. 6)  f(x*x) = f(x)*f(x) ==> f(x) > 0 if x>0.
  485.  
  486. 7)  Let a=1+\/2, b=1-\/2; a,b satisfy (x+1)/(x-1) = x ==>
  487. f(x) = (f(x)+1)/(f(x)-1) ==> f(a)=a, f(b)=b.  f(1/\/2) = f((a+b)/(a-b))
  488. = (a+b)/(a-b) = 1/\/2 ==> f(2) = 2.
  489.  
  490. 8)  By induction and the relation f((n+1)/(n-1)) = (f(n)+1)/(f(n)-1)
  491. we get that f(n)=n for all integer n.  #5 now implies that f fixes
  492. the rationals.
  493.  
  494. 9)  If x>y>0 (*) ==> f(x) - f(y) = f(x+y)/f((x+y)/(x-y)) > 0 by #6.
  495. Thus f is order-preserving.
  496.  
  497. Since f fixes the rationals *and* f is order-preserving, f must be the
  498. identity function.
  499.  
  500. This was E2176 in _The American Mathematical Monthly_ (the proposer was
  501. R. S. Luthar).
  502.  
  503. ==> analysis/functional/linear.p <==
  504. Suppose f is non-decreasing with
  505.   f(x+y) = f(x) + f(y) + C   for all real x, y.
  506. Prove: there is a constant A such that f(x) = Ax - C  for all x.
  507. (Note: continuity of f is not assumed in advance.)
  508.  
  509. ==> analysis/functional/linear.s <==
  510. By induction f(mx) = m(f(x)+C)-C.  Let x=1/n, m=n and find that
  511. f(1/n) = (1/n)(f(1)+C)-C.  Now let x=1/n and find that f(m/n) =
  512. (m/n)(f(1)+C)-C.  f(-x+x) = f(-x) + f(x) + C ==> f(-x) = -2C - f(x)
  513. (since f(0) = -C) ==> f(-m/n) = -(m/n)(f(1)+C)-C.  Since f is
  514. monotonic ==> f(x) = x*(f(1)+C)-C for all real x (Squeeze Theorem).
  515.  
  516. ==> analysis/integral.p <==
  517. If f is integrable on (0,inf), and differentiable at 0, and a > 0, show:
  518.  
  519.  
  520.                   inf     ( f(x) - f(ax) )
  521.                Int        ----------------  dx   = f(0) ln(a)
  522.                    0             x
  523.  
  524. ==> analysis/integral.s <==
  525. First, note that if f(0) is 0, then by substituting u=ax in
  526. the integral of f(x)/x, our integral is the difference of two
  527. equal integrals and so is 0 (the integrals are finite because f is
  528. 0 at 0 and differentiable there.  Note I make no requirement of
  529. continuity).
  530.  
  531. Second, note that if f is the characteristic function of the
  532. interval [0, 1]--- i.e.
  533.  
  534.         1, 0<=x<=1
  535.     f (x) =
  536.         0 otherwise
  537.  
  538. then a little arithmetic reduces our integral to that of
  539. 1/x from 1/a to 1 (assuming a>1; if a <= 1 the reasoning is similar),
  540. which is ln(a) = f(0)ln(a) as required.  Call this function g.
  541.  
  542. Finally, note that the operator which takes the function f to the
  543. value of our integral is linear, and that every function meeting the
  544. hypotheses (incidentally, I should have said `differentiable from the right',
  545. or else replaced the characteristic function of [0,1] above by that of
  546. (-infinity, 1]; but it really doesn't matter) is a linear combination of
  547. one which is 0 at 0 and g, to wit
  548.  
  549.     f(x) = f(0)g(x) + (f(x) - g(x)f(0)).
  550.  
  551. ==> analysis/period.p <==
  552. What is the least possible integral period of the sum of functions
  553. of periods 3 and 6?
  554.  
  555. ==> analysis/period.s <==
  556. Period 2.  Clearly, the sum of periodic functions of periods 2 and
  557. three is 6.  So take the function which is the sum of that function of
  558. period six and the negative of the function of period three and you
  559. have a function of period 2.
  560.  
  561. ==> analysis/rubberband.p <==
  562. A bug walks down a rubberband which is attached to a wall at one end and a car
  563. moving away from the wall at the other end. The car is moving at 1 m/sec while
  564. the bug is only moving at 1 cm/sec. Assuming the rubberband is uniformly and
  565. infinitely elastic, will the bug ever reach the car?
  566.  
  567. ==> analysis/rubberband.s <==
  568. Let w = speed of bug and N = ratio of car speed/bug speed = 100.  Paint N+1
  569. equally spaced stripes on the rubberband.  When the bug is standing on one
  570. stripe, the next stripe is moving away from him at a speed slightly < w
  571. (relative to him).  Since he is walking at w, clearly the bug can reach
  572. the next stripe.  But once he reaches that stripe, the next one is only
  573. receeding at < w.  So he walks on down to the car, one stripe at a time.
  574.  
  575. The bug starts gaining on the car when he is at the next to last stripe.
  576.  
  577. ==> analysis/series.p <==
  578. Show that in the series: x, 2x, 3x, .... (n-1)x (x can be any real number)
  579. there is at least one number which is within 1/n of an integer.
  580.  
  581. ==> analysis/series.s <==
  582. Throw 0 into the sequence; there are now n numbers, so some pair must
  583. have fractional parts within 1/n of each other; their difference is
  584. then within 1/n of an integer.
  585.  
  586. ==> analysis/snow.p <==
  587. Snow starts falling before noon on a cold December day.
  588. At noon a snowplow starts plowing a street.
  589. It travels 1 mile in the first hour, and 1/2 mile in the second hour.
  590. What time did the snow start falling??
  591.  
  592. You may assume that the plow's rate of travel is inversely proportioned
  593. to the height of the snow, and that the snow falls at a uniform rate.
  594.  
  595. ==> analysis/snow.s <==
  596. 11:22:55.077 am.
  597.  
  598. Method:
  599.  
  600. Let b = the depth of the snow at noon, a = the rate of increase in the
  601. depth.  Then the depth at time t (where noon is t=0) is at+b, the
  602. snowfall started at t_0=-b/a, and the snowplow's rate of progress is
  603. ds/dt = k/(at+b).
  604.  
  605. If the snowplow starts at s=0 then s(t) = (k/a) log(1+at/b).  Note that
  606. s(2 hours) = 1.5 s(1 hour), or  log(1+2A/b) = 1.5 log(1+A/b), where
  607. A = (1 hour)*a.  Letting x = A/b we have (1+2x)^2 = (1+x)^3.  Solve for
  608. x and t_0 = -(1 hour)/x.
  609.  
  610. The exact answer is 11:(90-30 Sqrt[5]).
  611.  
  612. _American Mathematics Monthly_, April 1937, page 245
  613. E 275.  Proposed by J. A. Benner, Lafayette College, Easton. Pa.
  614.  
  615. The solution appears, appropriately, in the December 1937 issue,
  616. pp. 666-667.  Also solved by William Douglas, C. E. Springer,
  617. E. P. Starke, W. J.  Taylor, and the proposer.
  618.  
  619. See R.P. Agnew, "Differential Equations," 2nd edition, p. 39 ff.
  620.  
  621. ==> analysis/tower.p <==
  622. A number is raised to its own power. The same number is then raised to
  623. the power of this result. The same number is then raised to the power
  624. of this second result. This process is continued forever. What is the
  625. maximum number which will yield a finite result from this process?
  626.  
  627. ==> analysis/tower.s <==
  628. Tower of Exponentials
  629.  
  630. ANSWER: e^(1/e)
  631.  
  632.     Let N be the number in question and R the result of the process. Then
  633.     R can be defined recursively by the equation:
  634.         (1) R = N^R
  635.     Taking the logarithm of both sides of (1):
  636.         (2) ln(R) = R * ln(N)
  637.     Dividing (2) by R and rearranging:
  638.         (3) ln(N) = ln(R) / R
  639.     Exponentiating (3):
  640.         (4) N = R^(1/R)
  641.     We wish to find the maximum value of N with respect to R. Find the
  642.     derivative of N with respect to R and set it equal to zero:
  643.         (5) d(N)/d(R) = (1 - ln(R)) / R^2 = 0
  644.     For finite values of R, (5) is satisfied by R = e. This is a maximum of
  645.     N if the second derivative of N at R = e is less than zero.
  646.         (6) d2(N)/d2(R) | R=e = (2 * ln(R) - 3) / R^3 | R=e = -1 / e^3 < 0
  647.     The solution therefore is (4) at R = e:
  648.         (7) Nmax = e^(1/e)
  649.  
  650. ==> arithmetic/7-11.p <==
  651. A customer at a 7-11 store selected four items to buy, and was told
  652. that the cost was $7.11.  He was curious that the cost was the same
  653. as the store name, so he inquired as to how the figure was derived.
  654. The clerk said that he had simply multiplied the prices of the four
  655. individual  items.  The customer  protested  that  the four  prices
  656. should have been ADDED,  not MULTIPLIED.  The  clerk said that that
  657. was OK with him, but, the result was still the same: exactly $7.11.
  658.  
  659. What were the prices of the four items?
  660.  
  661. ==> arithmetic/7-11.s <==
  662. The prices are: $1.20, $1.25, $1.50, and $3.16
  663.  
  664. $7.11 is not the only number which works.  Here are the first 160 such
  665. numbers, preceded by a count of distinct solutions for that price.
  666. Note that $7.11 has a single, unique solution.
  667.  
  668.        1 -  $6.44      1 -  $7.83      2 -  $9.20      3 - $10.89
  669.        1 -  $6.51      1 -  $7.86      1 -  $9.23      1 - $10.95
  670.        1 -  $6.60      3 -  $7.92      1 -  $9.24      2 - $11.00
  671.        1 -  $6.63      1 -  $8.00      1 -  $9.27      1 - $11.07
  672.        1 -  $6.65      1 -  $8.01      2 -  $9.35      1 - $11.13
  673.        1 -  $6.72      1 -  $8.03      3 -  $9.36      1 - $11.16
  674.        2 -  $6.75      5 -  $8.10      1 -  $9.38      1 - $11.22
  675.        1 -  $6.78      1 -  $8.12      5 -  $9.45      2 - $11.25
  676.        1 -  $6.80      1 -  $8.16      2 -  $9.48      2 - $11.27
  677.        2 -  $6.84      2 -  $8.19      1 -  $9.54      1 - $11.30
  678.        1 -  $6.86      1 -  $8.22      1 -  $9.57      1 - $11.36
  679.        1 -  $6.89      1 -  $8.25      1 -  $9.59      1 - $11.40
  680.        2 -  $6.93      3 -  $8.28      2 -  $9.60      2 - $11.43
  681.        1 -  $7.02      3 -  $8.33      1 -  $9.62      2 - $11.52
  682.        1 -  $7.05      1 -  $8.36      2 -  $9.63      2 - $11.55
  683.        2 -  $7.07      1 -  $8.37      1 -  $9.66      2 - $11.61
  684.        1 -  $7.08      2 -  $8.40      1 -  $9.68      1 - $11.69
  685.        1 -  $7.11      1 -  $8.45      2 -  $9.69      1 - $11.70
  686.        1 -  $7.13      2 -  $8.46      1 -  $9.78      1 - $11.88
  687.        2 -  $7.14      1 -  $8.52      2 -  $9.80      1 - $11.90
  688.        3 -  $7.20      5 -  $8.55      1 -  $9.81      1 - $11.99
  689.        1 -  $7.25      1 -  $8.60      1 -  $9.87      1 - $12.06
  690.        1 -  $7.26      4 -  $8.64      4 -  $9.90      1 - $12.15
  691.        2 -  $7.28      1 -  $8.67      1 -  $9.92      1 - $12.18
  692.        1 -  $7.29      1 -  $8.69      2 -  $9.99      1 - $12.24
  693.        3 -  $7.35      1 -  $8.73      1 - $10.01      1 - $12.30
  694.        1 -  $7.37      2 -  $8.75      1 - $10.05      1 - $12.32
  695.        1 -  $7.47      1 -  $8.76      2 - $10.08      1 - $12.35
  696.        1 -  $7.50      1 -  $8.78      1 - $10.17      2 - $12.42
  697.        1 -  $7.52      5 -  $8.82      1 - $10.20      1 - $12.51
  698.        4 -  $7.56      1 -  $8.85      2 - $10.26      1 - $12.65
  699.        1 -  $7.62      1 -  $8.88      3 - $10.29      2 - $12.69
  700.        4 -  $7.65      2 -  $8.91      3 - $10.35      1 - $12.75
  701.        1 -  $7.67      1 -  $8.94      2 - $10.44      1 - $12.92
  702.        2 -  $7.70      1 -  $8.96      1 - $10.53      1 - $12.96
  703.        3 -  $7.74      3 -  $9.00      1 - $10.56      1 - $13.23
  704.        1 -  $7.77      1 -  $9.02      1 - $10.64      1 - $13.41
  705.        1 -  $7.79      2 -  $9.03      2 - $10.71      1 - $13.56
  706.        2 -  $7.80      1 -  $9.12      3 - $10.80      1 - $14.49
  707.        1 -  $7.82      2 -  $9.18      1 - $10.85      1 - $15.18
  708.  
  709.  
  710. There are plenty of solutions for five summands.  Here are a few:
  711.  
  712.          $8.28  -- at least two solutions
  713.          $8.47  -- at least two solutions
  714.          $8.82  -- at least two solutions
  715. --
  716.      Mark Johnson       mark@microunity.com       (408) 734-8100
  717.  
  718. There may be many approximate solutions, for example: $1.01, $1.15, $2.41,
  719. and $2.54.  These sum to $7.11 but the product is 7.1100061.
  720.  
  721. ==> arithmetic/clock/day.of.week.p <==
  722. It's restful sitting in Tom's cosy den, talking quietly and sipping
  723. a glass of his Madeira.
  724.  
  725. I was there one Sunday and we had the usual business of his clock.
  726. When the radio gave the time at the hour, the Ormolu antique was
  727. exactly 3 minutes slow.
  728.  
  729. "It loses 7 minutes every hour", my old friend told me, as he had done
  730. so many times before.  "No more and no less, but I've gotten used to
  731. it that way."
  732.  
  733. When I spent a second evening with him later that same month, I remarked
  734. on the fact that the clock was dead right by radio time at the hour.
  735. It was rather late in the evening, but Tom assured me that his treasure
  736. had not been adjusted nor fixed since my last visit.
  737.